Einstieg in ...   Mathematik, Komplexe Zahlen


Komplexe Zahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist einfacher als gedacht, denn alle bisher erlernten Rechenregeln
bleiben erhalten! Das Einzige, das neu dazukommt, ist die imaginäre Einheit "i".



Vorbemerkung und Wiederholung

In der Mittelstufe haben wir folgendes gelernt:

\((14 - 5) * (17 - 11) = 9 * 6 = 54 \).

Oder man rechnet

\(14*17 - 5*17 -14*11 + 5*11 = 238 - 85 - 154 + 55 = 54 \).

Wir sehen: \((-5)*(-11)\) muss \(55\) ergeben, oder kürzer: "Minus mal Minus ergibt Plus".
Wäre das nicht so, dann würde das Gefüge von Addition und Multiplikation sofort zusammenbrechen,
weil die Distributivgesetze verletzt wären. Das Ergebnis bei "Minus mal Minus ergibt Minus" wäre
\(-56 \) und somit falsch. Und wir sind auch gewohnt: "Plus mal Plus ergibt Plus".
Das Quadrieren einer Zahl ungleich Null führt also immer zu einer positiven Zahl.

Und nun kommt eine Ausnahme, die imaginäre Einheit "i":

\(i*i = -1 \).

Oder anders geschrieben:

\(i^{2} = -1 \).

Ebenso gilt:

\((-i)*(-i) = -1 \).



Reelle Zahlen, imaginäre Zahlen, komplexe Zahlen

Die reellen Zahlen kenen die meisten von uns, Beispiele:

\(-23 ~~~~~~~~~ \) \(\sqrt{5} ~~~~~~~~~ \) \(0 ~~~~~~~~~ \) \(114,375 ~~~~~~~~~ \) \(log 19 ~~~~~~~~~ \).

Diese Menge wird abgekürzt mit "\(\mathbb{R}\)" und ist eine Teilmenge von \(\mathbb{C}\).
Der Imaginärteil einer rellen Zahl ist Null.

Neu sind jetzt die imaginären Zahlen:

\(-9i ~~~~~~~~ \sqrt{2}i ~~~~~~~~ 24i ~~~~~~~~\)

Man darf "i" auch als imaginäre Zahl bezeichnen. Der Realteil der imaginären Zahlen ist Null,
auch sie sind eine Teilmenge von \(\mathbb{C}\), haben aber keine eigene Abkürzung.


Eine komplexe Zahl entsteht durch die Addition einer rellen und einer imaginären Zahl,
die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet man mit "\(\mathbb{C}\)". Diese Addition wird jedoch
nicht bzw. nicht in der bisher gewohnten Form durchgeführt.

Eine komplexe Zahl hat folgenden Aufbau:

\(4 + 7*i\).

Man beachte: fünf Symbole in einer Zahl (4, +, 7, * und das "i")!


WICHTIGE HINWEISE:

- wie bereits gesagt, "i" wird "imaginäre Einheit" genannt.

- "i" ist keine Variable, wir setzen keine Werte ein, es gilt \(i^{2} = -1 \).

- Wir berechnen nicht 7*i. Wir berechnen auch nicht 4+7*i oder 4+7.

- Wenn 4+7*i das Ergebnis einer Berechnung ist, dann bleibt die Zahl so stehen.

- "4" ist der Realteil dieser komplexen Zahl, "7" ist ihr Imaginärteil.

- Realteil UND Imaginärteil sind reelle Zahlen.


Die Menge der komplexen Zahlen umfasst somit die reellen Zahlen, die rationalen Zahlen, die ganzen Zahlen
und die natürlichen Zahlen. Einige Beispiele:

\(1,275 - 3i ~~~~~~~~ \) \(\frac{-17}{9} + \sqrt{2}i ~~~~~~~~~~ \) \(5i ~~~~~~~~~~ \) \(-23 ~~~~~~~~~~~ \) \(\sqrt{5} ~~~~~~~~~~~ \) \(0 ~~~~~~~~~~~ \)


Google kann sehr gut mit komplexen Zahlen rechnen. Geben Sie einfach mal die Zeichenfolge i*i
oder (-i)*(-i) in das google-Suchfeld ein! Wir kommen noch darauf zurück.



Addition und Subtraktion

Das ist einfach. Wir addieren (oder subtrahieren) die Realteile und Imaginärteile getrennt.

\((5 + 17i) ~~~ + ~~~ (7 + 8i) ~ = ~ 12 + 25i \)

\((4 + 2i) ~~~ - ~~~ (7 - 22i) ~ = ~ -3 + 24i \)



Multiplikation

Nochmals: auch natürliche Zahlen sind komplexe Zahlen, ihr Imaginärteil ist Null.

\(2 ~ * ~ (6 + 3,5i) = 12 + 7i\),

\((2 + 7i) ~~~ * ~~~ (5 + 9i) \)

\( = 2*5 + 7i*5 + 2*9i + 7i*9i \)

\( = 10 + 35i +18i -63 \), wegen \( i^2=-1 \)

\( = -53 + 53i \)


Übungen, berechnen Sie:

1. \((2 + 3i) ~~~ * ~~~ (4 - 5i) \)

2. \((8 + 3i) ~~~ * ~~~ (8 - 3i) \)

3. \((8 + 3i) ~~~ * ~~~ (-8 - 3i) \)

Bitte prüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem google-rechner nach:
(2 + 3*i) * (4 - 5*i)      (8 + 3*i) * (8 - 3*i) mit copy+paste in das Suchfeld übertragen.

4. \(z^2 + 2z +3, ~ mit ~ z= -1 + \sqrt{2}i \)


Division

Tritt im Nenner ein Imaginärteil auf, dann muss man den Bruch erweitern und zwar
mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. "Konjugiert" bedeutet, dass das Vorzeichen
des Imaginärteils wechselt. Das sieht so aus:

\(z=23-17i ~ => \overline{z}=23+17i\)

Beispiel für eine Division:

\(\frac{7+4i}{8+9i} ~ = ~ \frac{(7+4i)(8-9i)}{(8+9i)(8-9i)} ~ = ~ \frac{56+32i-63i-36i^2}{64+72i-72i-81i^2} ~ = ~ \frac{92-31i}{145} ~ = ~ 0,6345-0,2138i \)


Potenzen von i

\( i^0=1 \)

\(i^1=i \)

\(i^2=-1 \)

\(i^3=-i ~~~~ = i^2*i \)

\(i^4=1 ~~~~ = i^2*i^2 \)

\(i^5=i \)

\(i^6=-1 \)

usw.


Hinweis: \(i^4=1 ~ \) bedeutet nicht, dass \(i=1 ~ \) ist. Man darf aber \(i^4 ~ \) durch "1" ersetzen.
\("i" ~\)ist eine Zahl, die es nicht gibt, ist also "imaginär".



Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene wird dargestellt durch ein Koordinatensystem mit zwei Achsen,
die senkrecht aufeinanderstehen. Dazu folgende Hinweise:

- Die senkrechte Achse (Im) enthält als Markierungen die imaginären Zahlen.
  In unseren Beispielen geben wir die Imaginärteile (-2, -1, 0, 1, 2, 3...) an, andere Autoren
  schreiben -2i, -i, 0, i, 2i, 3i ... Manchmal werden die Achsen statt mit Im und Re mit
  y und x bezeichnet.

- Für das Rechnen mit reellen Zahlen genügt der Zahlenstrahl,
  in der komplexen Zahlenebene bewegen wir uns in zwei Dimensionen.
  Leider lassen sich Funktionen schlecht darstellen, unter Umständen
  benötigen wir zwei Koordinatensysteme.

- Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen führt uns auf die reelle Achse,
  umgekehrt passiert das nicht.

- Einen Vergleich zweier komplexer Zahlen durch eine Ordnungsrelation \(z_{1} <z_{2} \) oder \( z_{3} >z_{4} \)
  gibt es nicht, aber es können die Beträge \(|z_{1}|\) und \(|z_{2}|\) verglichen werden.



Wir wollen die Zahl \(z=7+3i\) in die Gaußsche Zahlenebene eintragen. Zunächst gehen wir auf der
reellen Achse 7 Längeneinheiten nach rechts und dann parallel zur imaginären Achse 3 Längeneinheiten
nach oben. Der Betrag, also die Länge von z ist:

\(|z|=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58} ~ = ~ 7,62... ~ LE\).

Das "LE" werden wir in Zukunft weglassen, bei einer Multiplikation im Komplexen entstehen
keine Quadratmeter oder Kubikmeter aus Längeneinheiten.

Was wir sehen ist nichts anderes, als der Satz des Pythagoras. \(|z|\) ist die Hypotenuse,
Realteil und Imaginärteil sind die Katheten.

Darstellung in einem Koordinatensystem



Hier ist \(z=-4i\) eingezeichnet. Der Betrag \(|z|\) ist 4.


Der Betrag einer komplexen Zahl ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.


Darstellung einer imaginären Zahl



Übungen

Gegeben: \(z=6-7i\). Wie groß ist \(|z|\)?

Gegeben: \(z=1+i\). Wie groß ist \(|z|\)? Hinweis: \(1+i=1+1i\)




Im 3. Beispiel haben wir \(z=-9-2,5i ~ \) und \( ~ \overline{z}=-9+2,5i\) .

Übungen: Berechnen Sie \(z+\overline{z} ~, ~ z-\overline{z} ~ \) und \( ~ \overline{z}-z\) .


Darstellung konjugiert komplexer Zahlen




Zeichnerische Addition

In drei Schritten zeigen wir die Addition \((5 + 5i) ~ + ~ (-3 + 2i) \).

Den ersten Summanden einzeichnen: Addition Teil 1

Die Komponenten des zweiten Summanden ausgehend von der Pfeilspitze des ersten anfügen: Addition Tel 2

Die zweite Pfeilspitze zeigt das Ergebnis an: Ergebnis der Addition




Zeichnerische Subtraktion

Wir ermitteln \((4 + 2i) ~ - ~ (2 + 3i) \).

Dazu zeichnen wir beide Zahlen ein. Zunächst durchlaufen wir den Subtrahenden
2+3i in entgegengesetzter Pfeilrichtung (wegen des Minuszeichens) und erreichen
den Ursprung des Koordinatensystems. Nun führen wir eine Addition aus, indem wir
den Minuenden 4+2i im Ursprung anfügen. Die Verbindung von Startpunkt zum Zielpunkt
ergibt die gesuchte Differenz.
Subtraktion komplexer Zahlen




Übungen: Zeichnen Sie \(~(2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i)~\) und \(~-(2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i) \).




Zeichnerische Multiplikation

Zu berechnen ist das Produkt \((2 + i) ~ * ~ (2 + 6i) \).

Dabei multipliziert man die Beträge beider Zahlen und hat den
Betrag des Produkts als Länge. Und man addiert die Winkel der
beiden Faktoren, den sie jeweils mit der positiven reellen Achse bilden.

Das komplette Verfahren kann man sich auf youtube ansehen, das uns von
Prof. Edmund Weitz vorgestellt wird.

Multiplikation zweier komplexer Zahlen




Übungsvorschlag: Zeichnen Sie \(~(4 + 7i) ~ * ~ i~\) .




Wiederholung Trigonometrie

Alles über Winkelfunktionen ist hier als Wiederholung gedacht, wenn etwas zu schnell geht,
dann hilft youtube mit Lehrerschmidt und anderen weiter.

Ein Kreis ist eingeteilt in 2*2*2*3*3*5 = 360 gleich große Teile. Ein Grad ist der 360te Teil eines
Kreises. Ein Viertelkreis beträgt 90° und heißt rechter Winkel.

Das folgende Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\) = 24°.
Daraus läßt sich mit einem Taschenrechner das Verhältnis aus der Gegenkathete von \(\alpha\)
dividiert durch die Hypotenuse ermitteln. Das ist der Sinus des Winkels \(\alpha\).
Die Eingabe von sin (24°) führt zu dem Ergebnis 0,40673...
Man muss darauf achten, dass der Taschenrechner auf Grad (deg) eingestellt ist.

Das Ergebnis kann man nachprüfen, indem man die Linienlängen von GK und HY
nachmisst und dann dividiert.

Wenn man zusätzlich zum Winkel \(\alpha\) eine weitere Seitenlänge des Dreiecks kennt,
lässt sich das gesamte Dreieck berechnen.

Wiederholung Trigonometrie

Übungsvorschlag:

Gegeben: Ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\alpha\) = 53°, Hypotenuse = 15 cm.
Gesucht: die Länge beider Katheten. Hinweis: Die Winkelsumme eines Dreiecks ist
180°, der andere Winkel \(\beta\) ist damit 90°-53°=37°. Die Gegenkathete des Winkels \(\alpha\)
ist gleichzeitig die Ankathete des Winkels \(\beta\).


Haben wir umgekehrt das Seitenverhälnis aus Gegekathete:Hypotenuse gegeben, dann können
wir mit Hilfe von arcsin den Winkel berechnen. Auf dem Taschenrechner ist das meistens
die Taste \(sin^{-1}\). Achtung: das ist nicht der Kehrwert, sondern die Umkehrfunktion.

Ferner erhalten wir mit Anwendung des Satzes von Pythagoras \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = ~1\).

Eine andere Schreibweise ist \((sin~\alpha)^2 ~+~ (cos~\alpha)^2 = ~1 \).


Übungsvorschlag:

Gegeben ist das Verhältnis GK:HY=0,669106. Wie groß ist der Winkel \(\alpha\)?


Weitere Winkelfunktionen

- Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis Ankathete dividiert durch Hypotenuse
- Der Tangens eines Winkels ist Gegenkathete dividiert durch Ankathete

Die Begriffe Kosekans, Sekans und Kotangens kommen nur selten vor, es handelt sich um Kehrwerte.

tan (90°) ist nicht definiert.


Umrechnung in das Bogenmaß

Es ist auch eine andere Teilung eines Kreises üblich: das Bogenmaß. Hier nehmen wir
einen Kreis mit dem Radius 1. Wegen der Kreisformel \(U=2r\pi\) ist der Umfang des ganzen
Kreises 2\(\pi\). Der gestreckte Winkel von 180° ist umgerechnet \(\pi\) und der rechte Winkel
90° ist \(\pi\)/2. Die Zahlen im Bogenmaß sind kleiner, wir haben einen Umrechnungsfaktor von
von 360°/2\(\pi\) = 57,29578... also 1 rad = 57,29578°.

Wichtig: Immer den Taschenrechner korrekt einstellen. Bei Grad auf deg (degrees),
beim Bogenmaß auf rad (radiant). Die "Einheit" rad, die eigentlich keine ist, sondern nur Teil
eines Kreises, wird meistens weggelassen. Wir schreiben also entweder \(sin~(\pi/8)\)
oder \(sin~22,5°\).



Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Eine komplexe Zahl kann man auch in ein Koordinatensystem eintragen, wenn man
ihren Betrag, also die Länge kennt und den Winkel zwischen Betrag und der reellen Achse.
Das sieht dann so aus:

\(z=(5; 53°)\). Sind alle Einheiten der Seitenlängen natürliche Zahlen, dann haben wir es
mit einem Pythagoreischen Tripel zu tun (3; 4; 5). Ein weiteres Beispiel ist (5; 12; 13).
Darstellung in Polarform

Allgemein schreibt man \(z=(r; \phi)\), wobei r=\(|z|\).
Wir verwenden bei den komplexen Zahlen für den Winkel den griechischen Buchstaben
"phi". Die Darstellung im Bild weicht leider von der in den Formeln leicht ab.
Mit den Polarkoordinaten kann man aber nicht rechnen, wir brauchen dazu
die trigonometrische Darstellung oder die Exponentialform. Die Umformungen sind sehr einfach,
das folgt später.



Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung

Komplexe Zahlen können auch in Exponenten auftauchen. Um Vorurteile gegenüber "i" abzubauen,
empfehlen wir folgende Berechnungen mit google, dabei gibt man die Operationen direkt
in das google-Suchfeld ein oder kopiert mit copy + paste. In den folgenden Beispielen
ist der Realteil im Exponenten gleich Null.

2 hoch (3*i)
2 hoch (7*i)
100 hoch (6*i)
1000 hoch (26*i)
Zu sehen ist, dass Realteil und Imaginärteil stets zwischen -1 und +1 liegen.

2,71828 hoch (3,1415*i)
e hoch (pi*i)

(e hoch (pi*i))+1    ... und das ist die Eulersche Identität!

wird fortgesetzt...